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层次分析法(AHP)是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂(T. L. Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防 部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而 进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标 综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。

是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。

•决策是指在面临多种方菜时需要依据一定的标准选 择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例

• •   1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰 箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、 价格和耗电量。

• •   2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。 要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交 通便利和旅游的费用。

• •   3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一 个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价 值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和 人才培养。

  

层次分析法建模

一、 层次分析法概述

二、 层次分析法的基本原理

三、 层次分析法的步骤和方法

I、层次分析法的广泛应用

五、 应用层次分析法的注意事项

六、 层次分析法应用实例

一、层次分析法概述

•人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系 统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互 制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则 为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁 的、实用的决策方法。

•层次分析法（AHP法）是一种解决多目标的复杂问 题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法 将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经 验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重 要程度，并合理地给出每个決策方案的每个标准 的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较 有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

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•层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工 具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起 来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、 数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方 法。

•该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其 系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、，性能评价、能源系统分 析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了 广泛的重视和应用。

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二、层次分析法的基本原理

层次分析法根据问题的性质和要达到的 总目标，将问题分解为不同的组成因素， 并按照因 ＜间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构才莫型?从而最终使问题 归结为最低层（供决策的方案、措施等）相 对于最高层（总目标）的相对重要权值的确 定或相对优劣次序的排定。

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\层次分析法的步骤和方法

运用层次分析法构造系统模型时，大体 可以分为以下四个步骤：

• 1. 建立层次结构模型

• 2. 构造判断（成对比较）矩阵

• 3. 层次单排序及其一致性检验

• 4. 层次总排序及其一致性检验

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• 1.建立层次结构模型

•将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。

• •  最高层：决策的目的、要解决的问题。

• •  最低层：决策时的备选方案。

• •  中间层：考虑的因素、决策的准则。

• • 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因 素层。

下面举例说明。

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例1 大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择” 时，用人单位与毕业生都看各自的选择标准和要 求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面 的，例如：

• ① 能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适 合发挥自己的专乂）;

• ② 工祚收入较好（待遇好）;

• ③ 生宿环境好（大城市、气篠等工作条件等）；

• ④ 单位名声好（声誉等）；

• ⑤ 工作环境好（人际关系和谐等）

• ⑥ 发展晋昇机会多（如新箪位或前景好）等。

  
  
  

  目标层

  
  

  准则层

  
  

  方案层

  
  
  
  
  
  

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  二」

  
  

  例3科研课题的选择

  某研究所现有三个 科研课题，限于人力 及物力，只能研究一戯知 个课题。有三个须考 虑的因素：⑴科研成 果贡献大小（包括实用 价層和科学意义）；（2）描标恥 人材的培养；⑶课题 的可行性（包括课题的 难易程度、研究周期 及资金）。在这些因素方親£） 的影响下，如何选择 课题？

  
  

  成枭页献/?i

  
  
  
  
  
  

  合理选择课靂

  
  

  人苛埒养勿

  
  

  课题可行性釦

  
  
  

  2 题 课

  
  
  

层次分析法的思维过程的归纳

将决策问题分为3个或多个层次：

最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。

中间层：准则层、指标层、.… 表示采取某种措施、

政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；

一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。

最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政 策、方案等。通常有几个方案可选。

每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。

层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。

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• 2.构造判断（成对比较）矩阵

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的 结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出： 一致矩阵法，即：

• 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较

• 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因 素相互比较的困难，以提高准确度。

判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素ajj用Santy的1 一9标 度方法给出。

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。

判断矩阵元素的标度方法

目标层

准则层

C₃

1

选择旅游地

成对比较的不一致情况

1    1/2    4 …

A— 2    1     7

_……

不一致

缶i=2（q：G）   一致比较

67₁₃=4（q：q）     ¹   〉々23=8（G：G）

允许不一致，但要确定不一致的允许范围

考察完全一致的情况

w ɪ    w ₂

不(=1)二＞ 吗,吗,…叫司作为一个排序向量I w₂  w₂

--------------- --------------- . • • ------- 令a.. = w. / w.成对比较       ^A ~ ^{w 1 w 2}

IJ I J --------------------------------------

• • • • • •

满足         z,#=12w w

_____n_      _____n_                    ___ 的正互反阵/称一致阵。          _W1 w ₂

一致阵•刀的秩为1, /的唯一非零特征根为〃   Aw = nw

性系  •非零特征根〃所对应的特征向量归一化后可作为权向量

对于不一致（但在允许范围内）的成对比较阵

A, Saaty等人建议用对应于最大特征根人 的特征向量作为权向量卬，即

Aw =

• 3.层次单排序及其一致性检验

对应于判断矩阵最大特征才艮入ɪna X的特征向量，经 归一化（使向量中各元素之和等于1）后记为W。

W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素 相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓 一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。

定理：n阶一致阵的唯一非零特征才艮为〃

定理：n阶正互反阵幺的最大特征根人当且仅当九=〃 时幺为一致阵

由于人连续的依赖于但ij ,则久比〃大的越多，A的 不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作 为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其 不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以 用n〃数值的大小来衡量以的不一致程度。

定义一致性指标：ci =""

I n -1

孕0,有完全的一致性

C/接近于0,有满意的一致性

C7越大，不一致越严重

为衡量C7的大小，引入随机一致性指标 W。方法为 随机构造5 0 0个成对比较矩阵 4，刀2，. . .，刀500

则可得一致性指标le/i,e^,-,ɑsoo

九+人2 +

R[ = CL+CL+. — CLoo =500

Saaty的结果如下 随机一致性指标RI

〃 12345 6 78 9 iou

W 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

ci

定义一致性比率：CR =—

R1

一般，当一致性比率CR = —< 0.1时，认为A RI

的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过 一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则 要重新构造成对比较矩阵A,对a-加以调整。

<1

一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0. 1

及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过 程。

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“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验

最大特征根；1=5.073

权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)^T

一致性指标CI = 5・°刀-5 = _{0 018}

5-1

正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算

•精确计算的复杂和不必要

•简化计算的思--一致阵的任一■列向量都是特征向

量，"―致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量, 可取其某种意义下的平均。

和法--取列向量的算术平均      ;亍

• 4.层次总排序及其一致性检验

•计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对 重要性的权值，称为层次总排序。

•这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

Z

力层秫个因素

对总目标z的排序为

^层〃个因素对上层力中因素为％

的层次单排序为

如，…也 （丿=12…"）

B层的层次总排序为:

-。也 1 +。2，12 + …^am^\m

即B层第1个因素对总目标 ，2 ：。1，21 +。2,22 +…^am^2m

的权值为：E ^a j^bij

^{7 = 1                   B}n ^：々1如1 +。2如2 + …^am^nm

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层次总排序的一致性检验

设B层B_vB₂.- ,B_n对上层（力层）中因素4（丿=1,2,…，秫） 的层次单排序一致性指标为C1.,随机一致性指为RIj , 则层次总排序的一致性比率为：

CR = °1以］+ a。2 + …+ aQ m + ^a2^2 + ••• + ^am^m

当CT? <0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。层次 总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值o

到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。

一

选择;^游地  记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为

w ⑵=（0.263,0.475,0.055,0.090,0.110）7

同样求第3层（方案）对第2层每一元素（准则）的权向量

・・・Cn

最大特征根人1=3.005

权向量 的(3) 吧⑶         ...的⑶

=(0.595, 0.277, 0.129) =(0.082, 0.236, 0.682)      =(0.166, 0.166, 0.668)

第3层对第2层的计算结果

AA0.58 (〃=3), C4均可通过一致性检验

方案Pi对目标的组合权重为0.595x0.263+ ...=0.300

方案层对目标的组合权向量为(0.300, 0.246, 0.456)T

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层次分析法的基本步骤归纳如下

• 1.建立层次结构模型

该结构图包括目标层，准则层，方案层。

• 2. 构造成对比较矩阵

从第二层开始用成对比较矩阵和1〜9尺度。

• 3. 计算单排序权向量并做一致性检验

对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向 量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一 致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向 量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。

4.计算总排序权向量并做一致性检验

计算最下层对最上层总排序的权向量。

利用总排序一致性比率

Cr = θiɑʃ] + a。2 + ・.• + aQ m a_xRI_x + a₂RI₂ + •• - + a_mRl _m

CT? <0.1

进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比 率CR较大的成对比较矩阵。

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层次分析法的广泛应用

•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价,生产决策，交通运输,科研选 题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。

•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。

例1国家 !_____!—

实力分析 国民 军事

收入 力量 丨 丨

ɪl

例2工作选择

贡   收

献   入

国家综合实力

科技   社会   对外

水平    稳定   贸易

I                                                                                                               I

我、中、日、德等大国

供选择的岗位

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例3横渡 江河、海峡 方案的抉择

操作维护<P2

对水的污染畐

(2 )过河代价层次结构

待评价的科技成果

■- -. 11 fl

二五、应用层次分析法的注意事项

层次分析法的优点

系统性--将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合

的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；

实用性——定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优 化技术无法着手的实际问题，应用范围很广， 同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够 相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就 增加了决策的有效性；

简洁性——计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即 可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基 本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者 直签了解和掌握。

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层次分析法的局限

囿旧——只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出 更好的新方案；

粗--该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗

糙的，不适用于精度较高的问题。；

主观--从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主

观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难 以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断 的办法是克服这个缺点的一种途径。

六、层次分析法应用实例

某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准 有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力 和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化 排序。

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⑴建立层次结构模型

⑵构造成对比较矩阵及层 次单排序

A的最大特征值九宓二6.35,  相应的特征向量为:

仍2)= (0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30)『

一致性指标CI = ^{6,35 -6} = 0.07随机一致性指标^/=1.24 (查表)

一致性比率 0?=0.07/1.24=0.0565<0.1

X m n ɑ —i.

假设3人关于6个标准的判断矩阵为:

健康情况      业务知识      写作能力

口才       政策水平      工作作风

由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量o 各属性的最大特征值

均通过一致性检验

⑶层次总排序及一致性检验

4.16、

旅游问题

⑴建模

分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。

b₁,b₂,b₃

分别表示苏杭、北戴河、桂 林。

(2)构造成对比较矩阵

1

A = 4 ɪ 3 ɪ 3

二

(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验

成对比较矩阵力的最大特征值；1 = 5.073

该特征值对应的归一化特征向量

企={0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110)

八 5.073 - 5

则 CI —-------= 0.018

5 ^— 1

RI = 1.12

故 θ^lɛ _=0016<0 ɪ

1.12

表明力通过了一致性验证。

对成对比较矩阵可以求层次 总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：

计算CR_k可知环6切3切4，^B5通过一致性检验。

(4)计算层次总排序权值和一致性检验 戶1对总目标的权值为：

0.595x 0.263+0.082x 0.475+0.429x 0.055

+ 0.633x 0.099+0.166x0.110 = 0.3

同理得月切3对总目标的权值分别为：0.246, 0.456, 决策层对总目标的权向量为：(0.3, 0.246, 0.456) 又 CR = (0.263 X 0.003 + 0.475 x 0.001

+ 0.055 x0 + 0.099 x 0.005 + 0.110x0)

/0.58 = 0.015 <0.1

故，层次总排序通过一致性检验。

{0.3, 0.246, 0.456}  可作为最后的决策依据。

即各方案的权重排序为B₃>B_x> b₂

又B_x.B₂.B₃分别表示苏杭、北戴河、桂林， 故最后的决策应为去桂林。

作业

• 一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量，颜色， 价格，外形，实用，品牌等因素，比较中意的手机有诺基亚 N73,摩托罗拉E8,索爱W890i,但不知选择哪一款为好， 请你建立数学模型给他一个好的建议。

•对计算机编程能力较好的同学，可否编写一个AHP法的计算 程序，VB, VC均可。其他同学考虑用Excel如何计算AHP 法。（主要是特征值，特征向量的计算）

•通过网络资源，查找关于层次分析法应用的论文（2篇以 上），并指出其应用的方面，所考虑的目标，准则和方案。

（可通过仰恩图书馆■中国知网或

查找）

网上计算AHP的软件：（请自行下载）

http: //www. jeffzhang. cn/download/yaahpSetup 0. 4. 1. exe