某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中
表示功能，
表示价格，
表示可维护性。
，
，
表示备选的3种品牌的设备。
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
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标度 |
定义（比较因素i与j） |
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1 |
因素i与j同样重要 |
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3 |
因素i与j稍微重要 |
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5 |
因素i与j较强重要 |
|
7 |
因素i与j强烈重要 |
|
9 |
因素i与j绝对重要 |
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2、4、6、8 |
两个相邻判断因素的中间值 |
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倒数 |
因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij |
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：
aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
●判断矩阵
(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；
●判断矩阵
(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示；
●判断矩阵
(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示；
●判断矩阵
(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所
示。
表1判断矩阵
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1 |
1/3 |
2 |
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|
3 |
1 |
5 |
|
|
1/2 |
1/5 |
1 |
表2 判断矩阵
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|
|
|
|
|
1 |
l/3 |
1/5 |
|
|
3 |
1 |
1/3 |
|
|
5 |
3 |
1 |
表3 判断矩阵B2-C
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|
|
|
|
1 |
2 |
7 |
|
|
1/2 |
1 |
5 |
|
|
1/7 |
1/5 |
1 |
表4判断矩阵
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
l/7 |
|
|
l/3 |
1 |
1/9 |
|
|
7 |
9 |
1 |
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。
●求和法
1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij；
2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；
3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ，
W即为A的特征向量的近似值；
4）求特征向量W对应的最大特征值：
●求根法
1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；
（i =1, 2, …, n）
2）将
归一化，得到
；W=（w1，w2，…wn ）T即为A的特征向量的近似值；
3）求特征向量W对应的最大特征值：
(1)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验
①计算矩阵的特征向量。
计算判断矩阵各行元素的乘积
，并求其
次方根，如
，
，类似地有，
，
。对向量
规范化，有
类似地有
，
。所求得的特征向量即为：
②计算矩阵的特征根
类似地可以得到
，
。
按照公式计算判断矩阵最大特征根：
③一致性检验。
实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。
根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。 一致性指标：
计算
<0.1，
，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知
，（一般认为CI<0.1、
CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。
表5 平均随机一致性指标
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阶数 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
RI |
0.58 |
0.89 |
1.12 |
1.26 |
1.36 |
1.41 |
1.46 |
1.49 |
1.52 |
1.54 |
1.56 |
1.58 |
(2)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：
，
，
(3)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：
，
，
(4)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：
，
，
4、层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
方案C1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426
方案C2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283
方案C3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291
依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。 层次总排序如表6所示。
表6 层次总排序
|
层次 层次 |
|
|
|
层次C 总排序权重 |
|
0.230 |
0.648 |
0.122 |
||
|
|
0.105 |
0.592 |
0.149 |
0.426 |
|
|
0.258 |
0.333 |
0.066 |
0.283 |
|
|
0.637 |
0.075 |
0.785 |
0.291 |
5、结论
由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为：，，，且品牌1明显优于其他两种品牌的设备。